Berliner Studienreihe zur Mathematik -- Band 16

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Hans Havlicek

Lineare Algebra
für Technische Mathematik

4. korrigierte und erweiterte Auflage, x + 426 Seiten,
fester Einband, ISBN 978-3-88538-116-7, EUR 38.90, 2022

Dieses Lehrbuch der linearen Algebra setzt außer dem Schulwissen keine besonderen Kenntnisse voraus. Es ist so abgefasst, dass es ab dem ersten Semester gelesen werden kann. Das Buch soll aber zugleich ein Begleiter durch das gesamte Studium sein.

Im Mittelpunkt steht der Standardstoff: endlichdimensionale Vektorräume, lineare Abbildungen, Matrizen, Determinanten und Skalarprodukte. Einige Kapitel sind der Geometrie gewidmet. Die Darstellung und der Inhalt richten sich jedoch an den Bedürfnissen von Studierenden der Mathematik aus. Daher werden etwa auch unendlichdimensionale Vektorräume, die Jordan-Normalform, semilineare Abbildungen und Sesquilinearformen behandelt. Besonderer Wert wurde auf Beispiele gelegt, wobei manchmal auch ein Ausblick in andere mathematische Disziplinen wie Analysis, Codierungstheorie, Funktionalanalysis oder die numerische lineare Algebra geboten wird. Zum Einüben und zur Ergänzung des Stoffes können die insgesamt 346 Aufgaben dienen.

Das Inhaltsverzeichnis:

 

	Vorwort	ix
1	Grundlagen
1.1	Vorbemerkungen über die Logik	1
1.2	Vorbemerkung über Mengen	5
1.2	Geordnete Paare, Relationen und Abbildungen	7
1.3	Eigenschaften von Abbildungen	10
1.5	Produkt von Abbildungen	12
1.6	Familien und Mengenfamilien	14
1.7	Äquivalenzrelationen	18
1.8	Halbordnungen	23
1.9	Gruppen	24
1.10	Körper	30
1.11	Gruppenhomomorphismen	35
1.12	Körperisomorphismen	41
1.13	Symmetrische Gruppen	43
2	Vektorräume
2.1	Elementare Vektorrechnung	46
2.2	Definition und Beispiele von Vektorräumen	48
2.3	Unterräume	51
2.4	Linear abhängige und linear unabhängige Familien	56
2.5	Erzeugendensysteme und Basen	59
2.6	Endlich erzeugte Vektorräume	62
2.7	Elementare Umformungen	65
2.8	Der Dimensionssatz	71
3	Lineare Abbildungen
3.1	Elementare Vorbemerkungen	76
3.2	Definition und Beispiele linearer Abbildungen	77
3.3	Der Fortsetzungssatz	81
3.4	Koordinaten und Koordinatenmatrizen	86
3.5	Lineare Selbstabbildungen	91
3.6	Vektorräume linearer Abbildungen	95
4	Duale Vektorräume
4.1	Elementare Vorbemerkungen	98
4.2	Linearformen und Hyperebenen	99
4.3	Duale Basen	103
4.4	Koordinatenwechsel	106
4.5	Bidualräume	108
4.6	Äquivalente Matrizen	111
4.7	Lineare Gleichungssysteme	116
4.8	Annullatorräume	124
4.9	Transponierte Abbildungen	131
5	Semilineare Abbildungen
5.1	Definition semilinearer Abbildungen	137
5.2	Eigenschaften semilinearer Abbildungen	139
5.3	Faktorräume	142
6	Lineare Geometrie
6.1	Affine Räume	144
6.2	Affine Linearkombinationen	148
6.3	Semiaffine Abbildungen	153
6.4	Affine Koordinaten und affine Funktionen	160
6.5	Projektive Räume	165
6.6	Zusammenhang von affinen und projektiven Räumen	170
6.7	Kollineare Abbildungen	175
6.8	Projektive Koordinaten	181
7	Determinantenformen und Determinanten
7.1	Elementare Vorbemerkungen	188
7.2	Determinantenformen	190
7.3	Determinanten linearer Abbildungen	196
7.4	Berechnung und Entwicklung von Determinanten	198
7.5	Anwendungen	203
8	Lineare Selbstabbildungen
8.1	Polynome	207
8.2	Nullstellen von Polynomen	211
8.3	Eigenwerte und Eigenvektoren	217
8.4	Das charakteristische Polynom	219
8.5	Diagonalisierbarkeit	224
8.6	Der Satz von Cayley-Hamilton	226
8.7	Die Normalform von Jordan	229
8.8	Komplexe Erweiterung reeller Vektorräume	245
8.9	Die reelle Normalform von Jordan	250
9	Sesquilinearformen
9.1	Elementare Skalarprodukte	256
9.2	Definition und Beispiele von Sesquilinearformen	258
9.3	Kongruente Sesquilinearformen	261
9.4	Orthosymmetrische Sesquilinearformen	264
9.5	Orthogonalräume	271
9.6	Quadratische Formen	276
9.7	Komplexe Fortsetzung von Bilinearformen	278
9.8	Orthogonale Zerlegungen	280
9.9	Symmetrische Bilinearformen komplexer Vektorräume	286
9.10	Der Trägheitssatz von Sylvester	288
10	Quadratische Funktionen und Quadriken
10.1	Elementare Vorbemerkungen	294
10.2	Quadratische Funktionen	295
10.3	Affine Quadriken	303
10.4	Projektive Quadriken	310
10.5	Zusammenhang von affinen und projektiven Quadriken	315
10.6	Anwendungen	320
11	Vektorräume mit Skalarprodukt
11.1	Definition und Beispiele von Skalarprodukten	322
11.2	Gradienten	326
11.3	Normierte Vektorräume	329
11.4	Reziproke Basen	332
11.5	Orthogonalbasen und Orthogonalsysteme	335
11.6	Gram-Matrizen	343
12	Adjungierte Abbildungen
12.1	Definition adjungierter Abbildungen	348
12.2	Isometrische Abbildungen	352
12.3	Normale Abbildungen	357
12.4	Isometrische Gruppen	362
12.5	Selbstadjungierte Abbildungen	368
12.6	Die Hauptachsentransformation	372
12.7	Die Singulärwertedarstellung	375
12.8	Polar- und QR-Zerlegung	379
12.9	Moore-Penrose-inverse Abbildungen	386
13	Metrisch-affine Geometrie
13.1	Metrisch-affine Räume	392
13.2	Abstands- und Winkelmessung	394
13.3	Kongruenzabbildungen	397
13.4	Quadratische Funktionen und Quadriken in euklidischen Räumen	401
13.5	Abstandsverzerrung bei affinen Abbildungen	406
	Literaturverzeichnis	410
	Symbolverzeichnis	412
	Sachverzeichnis	416

Hans Havlicek ist Professor an der Technischen Universität Wien.